Εξισώσεις

Τι είναι η μεταβλητή;

Σε μια αριθμητική παράσταση μπορούμε εκτός από αριθμούς να χρησιμοποιήσουμε γράμματα (α, β, χ, ψ….) ή σύμβολα ( * ,@)

Αυτά τα γράμματα ή σύμβολα τα λέμε μεταβλητές.

Μία μεταβλητή μπορούμε να την αντικαταστήσουμε με οποιαδήποτε τιμή μπορεί να πάρει ένα ποσό.

Ας δούμε κάποια παραδείγματα:

α) Η Σοφία μάζεψε από τα κάλαντα κάποια χρήματα και ξόδεψε τα 15 Ευρώ

Η Σοφία μάζεψε ( χ - 15) χρήματα

β) Ο Σπύρος έβαλε τα χρήματα του μαζί με τα 75 Ευρώ του αδελφού του

( α + 75)

γ) Ο Σταμάτης είχε κάποια χρήματα και η γιαγιά του του έδωσε ακόμα 20 Ευρώ

Ο Σταμάτης έχει τώρα ( @ + 20)

Στα παραδείγματά μας η μεταβλητή έχει οριστεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους

( χ , α , @).

Δε μπορούμε να ξέρουμε με ποιον αριθμό αντιστοιχεί η μεταβλητή , αφού έχει άπειρες λύσεις. Μπορούμε να ξέρουμε την τιμή της μεταβλητής όταν μας δίνεται και άλλο στοιχείο. Π. χ. :

Έχω ένα τετράγωνο με πλευρά α

Η περίμετρός του είναι ………………………………………………………………

Αν α=1 τότε Π= …………………………

Αν α= 2 τότε Π= ………………………….

Αν α=3 τότε Π= ………………………..

Αν α=10 τότε Π= ………………………….

ΠΡΟΣΟΧΗ: Είτε λέμε 2 . α είτε 2α είναι το ίδιο ακριβώς.

Κατάλαβα!!!!

Το γράμμα ή το σύμβολο που χρησιμοποιούμε σε μια αριθμητική παράσταση στη θέση μιας τιμής άγνωστης ή μεταβαλλόμενης λέγεται μεταβλητή.

Μπράβο! Θυμάσαι πώς βρίσκουμε το Εμβαδόν ενός

τετραγώνου με πλευρά α;

Εμβαδόν τετραγώνου =………………………..

Αν α=1 τότε Ε=………………………………

Αν α=2 τότε Ε=………………………………

Αν α=3 τότε Ε=………………………………

Αν α=10 τότε Ε=………………………………

Έτσι λοιπόν για τη φράση :"Υπήρχαν χ βόλοι στο σκουτί. Τώρα υπάρχουν 2 περισσότεροι" , ποια αριθμητική παράσταση θα χρησιμοποιήσουμε;

Τώρα το κουτί έχει ………………………………………………

Βρες τρεις τιμές που μπορεί να έχει το χ

Αν χ= τώρα υπάρχουν………………………………βόλοι στο κουτί

Αν χ= τώρα υπάρχουν……………………………….βόλοι στο κουτί

Αν χ= τώρα υπάρχουν………………………………βόλοι στο κουτί

Ο Νίκος είχε ψ χρήματα. Τώρα έχει 3 ευρώ λιγότερα

Ο Νίκος έχει τώρα ………………………….ευρώ

Αν ψ=12 τότε ο Νίκος έχει τώρα………………………………………………………………….

Αν ψ =20 τότε ο Νίκος έχει τώρα………………………………………………………………….

Το χ και το ψ που βάλαμε θα το λέμε μεταβλητή,

μια και μπορεί να πάρει τη θέση οποιουδήποτε φυσικού αριθμού.

2. Εξισώσεις με άγνωστο τον προσθετέο

Θυμάμαι ότι η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι πράξεις αντίθετες.

4 + 8 =12 4 = ……………… 8=……………………

Χ + 8 =12 4 + Χ = 12

Χ =………………......... Χ =……………….

Χ = ………………........ Χ = ………………

1. Η Μαρία και ο Μανόλης έχουν μαζί 12 ευρώ. Αν Μαρία έχει 4 ευρώ , πόσα ε έχει ο Μανώλης;

2. Η Σοφία έχει κάποια χρήματα. Της έδωσε 15 ευρώ η γιαγιά της και τώρα έχει 27 ευρώ. Πόσα χρήματα είχε η Σοφία;

3. Λύνω

6,5 + χ = 19 χ + 7,25 = 40

Σχηματίζω εξισώσεις , όπου ο άγνωστος χ είναι ένας από τους προσθετέους :

1. Η Αντριάνα είναι x ετών. Σε δεκατρία χρόνια αυτή θα είναι είκοσι τεσσάρων ετών.

Χ + 13 = 24 Φτιάχνω ισότητα με μεταβλητή, δηλαδή εξίσωση

Χ= Και βρίσκω τη λύση

Χ=

Απάντηση. Η Αντριάννα είναι ……….ετών.

2. Η Μαρία αγόρασε μαρκαδόρους και τετράδια και πλήρωσε συνολικά 42 ευρώ. Αν οι μαρκαδόροι κόστιζαν 15 ευρώ, πόσο κόστιζαν τα τετράδια που αγόρασε;

Απάντηση ……………………………………………………………..

3. Η μητέρα αγόρασε κάποια μέτρα ύφασμα μπλε, 3,45μ ύφασμα κόκκινο και 4,25μ ύφασμα μαύρο. Αν αγόρασε συνολικά 15μ ύφασμα, πόσα μέτρα μπλε ύφασμα αγόρασε;

Απάντηση ……………………………………………………………..

4. Η γιαγιά είναι 67 ετών και 3 χρόνια μεγαλύτερη από τον παππού. Ποια είναι η ηλικία του παππού;

Απάντηση ……………………………………………………………..

5. Η Βάσω έχει 27 ευρώ στον κουμπαρά της. Πόσα χρήματα χρειάζεται για να αγοράσει ένα παιχνίδι που κοστίζει 68 ευρώ;

απάντηση...................................................................................................................

4. Εξισώσεις με άγνωστο το μειωτέο ή τον αφαιρετέο

Θυμάμαι ότι

30 – 12 = 18

30 = …………………

12=……………………..

Χ – 12 = 18

Χ=.............

Χ=...............

30 – Χ = 18

Χ=.............

Χ=.............

1. Η Ελένη είχε ένα ποσό στον κουμπαρά της. Ξόδεψε 12 ευρώ και της έμειναν 18^ε. Πόσα χρήματα είχε αρχικά ;

2. Η Ελένη είχε 30 ευρώ στον κουμπαρά της, ξόδεψε κάποιο ποσό και της έμειναν 18 ευρώ. Πόσα χρήματα ξόδεψε;

4. Σε ένα βαρέλι είχα 50 λίτρα κρασί. Καταναλώσαμε κάποια ποσότητα και περίσσεψαν 21 λίτρα .Πόσα λίτρα καταναλώσαμε;

Απάντηση……………………………………………………………………………………..

5. Ένας παραγωγός έβγαλε κάποιους τόνους πορτοκάλια. Πούλησε 4,5 τόνους και του έμειναν 13 τόνοι. Πόσους τόνους ήταν η αρχική παραγωγή του;

Απάντηση……………………………………………………………

5. Εξισώσεις με άγνωστο έναν από τους παράγοντες του γινομένου.

Θυμάμαι ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι πράξεις αντίστροφες.

4 * 5 = 20

4 =................

5= ...................

Χ * 5 = 20

Χ=.........................
Χ=...............................

4 *Χ = 20

Χ=.........................

Χ=....................................

1. Αγόρασα κάποιους μαρκαδόρους με 5 ευρώ τον ένα και πλήρωσα συνολικά 20 ευρώ. Πόσους μαρκαδόρους αγόρασα;

Απάντηση………………………………………………………………………………….

2. Αγόρασα 4 μαρκαδόρους με κάποια ευρώ τον καθένα και πλήρωσα συνολικά 20 ευρώ. Πόσα χρήματα κόστιζε ο κάθε ένας μαρκαδόρος

Απάντηση……………………………………………………………………

3.Η μητέρα αγόρασε 3μ ύφασμα κίτρινο με κάποια ευρώ το μέτρο και πλήρωσε συνολικά 36 ευρώ. Πόσο κόστιζε το μέτρο το ύφασμα;

Απάντηση…………………………………………………………………………

4. Αν το Εμβαδόν μιας ορθογώνιας αίθουσας είναι 32τμ και το πλάτος της 4μ, πόσα μέτρα είναι το μήκος της;

Απάντηση…………………………………………………………………………….

6. Εξισώσεις με άγνωστο το διαιρετέο ή το διαιρέτη.

Θυμάμαι ότι

24 : 3 =8

24 =.....................

3=........................

Χ : 3 = 8

Χ=.......................
Χ=..........................

24 : Χ= 8

Χ=.......................

Χ=............................

1. Είχα κάποια κιλά μέλι και τα μοίρασα σε 8 δοχεία των 3 κιλών το καθένα. Πόσα κιλά μέλι είχα;

Απάντηση…………………………………………………………………………….

2. Είχα 24 κιλά μέλι και τα μοίρασα σε 8 δοχεία. Πόσα κιλά μέλι έβαλα σε κάθε δοχείο;

Απάντηση……………………………………………………………….

Επαναληπτικές ασκήσεις

Σχηματίζω εξισώσεις και λύνω

1. Ο Μάριος είναι κάποιων ετών. Ο Νίκος είναι 4 χρόνια μεγαλύτερος από το Μάριο. Η ηλικία και των δύο μαζί είναι 20 ‘έτη. Πόσων ετών είναι ο Μάριος και ποια η ηλικία του Νίκου;

Απάντηση…………………………………………………………………………………

2. Η Ελένη έχει ένα ποσό στον κουμπαρά της. Η Βασιλική έχει 12 ευρώ περισσότερα από την Ελένη. Αν και οι δύο μαζί έχουν 100 ευρώ, πόσα χρήματα έχει η Ελένη και πόσα η Βασιλική;

Ελένη: Βασιλική ;

Απάντηση………………………………………………………………………………..

3. Ο παππούς και η γιαγιά είναι μαζί 140 ετών. Αν η γιαγιά είναι 2 χρόνια μεγαλύτερη από τον παππού πόσων ετών είναι ο καθένας ;

παππούς : γιαγιά:

Απάντηση……………………………………………………………………………………

4. Η μητέρα αγόρασε 3μ ύφασμα κόκκινο, 6μ μπλε και 12μ μαύρο με κάποια ευρώ το μέτρο. Αν πλήρωσε συνολικά 147 ευρώ πόσο κόστιζε το μέτρο το ύφασμα;

Απάντηση………………………………………………………………………..